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概念



卡特兰数 的通项公式为

$$f \left( n \right) = \frac{1}{n+1} C_{2n}^{n}$$

又根据 组合数的计算公式:

可得:

$$f \left(n \right) = \frac{1}{n+1} \frac{(2n)!}{n!\cdot n!} = \frac{(2n)!}{(n+1)!\cdot n!} $$


同时满足递推关系式:

$$f \left(0 \right) = 1, f \left(n+1 \right) = \frac{2(2n+1)}{n+2} \cdot f \left(n \right) $$




应用


1.括号化问题(或者01的个数问题)


矩阵链乘: P=a1×a2×a3×……×an,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,试问有几种括号化的方案?(h(n)种)


2.出栈次序问题


一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,…n,有多少个不同的出栈序列?

与 问题1解法相同, 进栈相当于左括号,出栈相当于右括号


另两个类似例子:


(1)有2n个人排成一行进入剧场(或者商店买东西)。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人只有10元钞票,剧院无其它钞票,问有多少中方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零?(将持5元者到达视作将5元入栈,持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

还是与1类似,5块钱相当于左括号,10块钱相当于右括号


(2)在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来,使得所得到的n条线段不相交的方法数。




3.凸多边形问题


(1)一个凸的n边形,用直线连接他的两个顶点使之分成多个三角形,每条直线不能相交,问一共有多少种划分方案。

(2)类似:一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越(但可以碰到)从家到办公室的对角线,那   么有多少条可能的道路?

(3)类似:在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?
例如n+2个点的凸多边形,这里n=4,通过卡特兰数的推导可以得出h(4)=14。


4.给定节点组成二叉树的问题


给定N个节点,能构成多少种形状不同的二叉树?


先取一个点作为顶点,然后左边依次可以取0至N-1个,相对应的,右边是N-1到0个,两两配对相乘,就是h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) +…+ h(n-1)h(0)=h(n)(能构成h(N)个)

leetcode-96 不同的二叉搜索树


5.n*n棋盘从左下角走到右上角而不穿过主对角线的走法


a.在 nn的格子中,只在下三角行走,每次横或竖走一格,有多少中走法?其实向右走相当于进栈, 向左走相当于出栈,本质就是n个数出栈次序的问题,所以答案就是卡特兰数。(利用这个模型,可以解决这个卡特兰问题的变形问题,并顺便给进出栈问题的解法一个几何解释)


b.有n+1个叶子的满二叉树的个数?事实上,向左记为+1,向右记为−1,按照向左优先的原则,从根节点开始遍历.例如第一个图记为+1,+1,+1,−1,−1,−1,于是由卡特兰数的含义可得满二叉树的个数为Cn。




参考:

卡特兰(Catalan)数概念的简要介绍

史上最详细的卡特兰数浅谈

卡特兰数的证明

LeetCode 96之卡特兰数

卡特兰数/概率/蓄水池抽样